เส้นโค้งระบบสามมิติ

เส้นโค้งที่กล่าวมาแล้วทั้งหมดเป็นเส้นโค้งอยู่บนพื้นระนาบ อันที่จริงแล้ว เราพบเส้นโค้งในระบบสามมิติเป็นส่วนใหญ่

เมื่อเรานั่งรถผ่านบริเวณที่เป็นภูเขาสูง จะเห็นถนนที่เลียบภูเขานั้นเป็น เส้นโค้งที่เลี้ยวอ้อมภูเขาไป สถานที่บางแห่งเขาทำบันไดวนรอบสถานที่ ถ้าสังเกตดูราวบันไดจะเห็นเป็นเส้นโค้งที่เลี้ยวไปตามความโค้งของสถานที่นั้น ภายในบ้านหรืออาคารบางแห่งยังมีบันไดวนใช้ขึ้นลงกันอยู่

เส้นโค้งแบบราวบันไดวนนี้เป็นเส้นโค้งบนผิวของทรงกระบอก โดยเส้นโค้งทำมุมกับพื้นราบ เท่ากันทุกจุดทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งนี้ว่า เฮลิกซ์ (helix) เกลียวของตะปูควง หรือเกลียวของสว่าน ก็มีลักษณะเป็นเส้นโค้งแบบนี้

เส้นโค้งบันไดวน หรือเส้นโค้งเฮลิกซ์นี้ อาจจะเป็นเส้นโค้งที่วนรอบรูปกรวยก็ได้โดยมีคุณสมบัติว่า เส้นโค้งนี้ทำมุมกับพื้นราบเท่ากันทุกแห่ง

การเขียนเส้นโค้งในระบบสามมิตินี้ ต้องใช้เส้นตรงตั้งฉากกัน และ กัน 3 เส้น ตัดกันที่จุด O เรียกว่า จุดกำเนิด เส้นตรงทั้งสามคือ xox' yoy' และ zoz' ประกอบกันเป็นระนาบ 3 ระนาบ คือ ระนาบ xoy ระนาบ yoz และ ระนาบ xoz การบอกตำแหน่งของจุด p ใดๆ ใช้ระยะทางที่จุด P อยู่ห่างจากระนาบ yoz (ระยะทาง x) จากระนาบ xoz (ระยะทาง y) และ จากระนาบ xoy (ระยะทาง z) ตำแหน่งของ P คือจุด (x, y, z)

เราอาจจะวัด x, y และ z ได้โดยลากเส้นตรงจาก P มาตั้งฉากกับระนาบ xoy ที่จุด P' ระยะทางที่วัดได้เรียกว่า z จาก P' ลากเส้นตรงไปตั้งฉากกับแกน y และ แกน x จะได้ระยะทาง x และ y ตามลำดับ

ในทางคณิตศาสตร์ถ้าจุด P เดินทางไปโดยที่ค่า x, y และ z เป็นฟังก์ชัน ของตัวแปรตัวที่สี่เช่น t คือ x = f(t), y = g(t), z = h(t), ทางเดินของ จุด P จะเป็นเส้นโค้งเรียกว่า เส้นโค้งอวกาศ (space curve)

สมการของบันไดวนรอบรูปทางทรงกระบอกมีแบบเป็น x = r cos t, y = r sin t, z = kt เมื่อ r เป็นรัศมีทรงกระบอก และ k เป็นค่าคงที่

ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าผิวโค้งสองผิวตัดกันรอยตัดที่ได้จะเป็นเส้นโค้งเช่นเดียวกับที่พื้นระนาบสองพื้นตัดกันได้รอยตัดเป็นเส้นตรง เช่นรอยตัดระหว่างพื้นบ้านกับฝาบ้าน เป็นต้น ผิวโค้งจึงเป็นหัวข้อที่น่าสนใจอีกหัวข้อหนึ่ง