เส้นโค้งเกิดจากเส้นตรง

ถ้าลากเส้นตรงเป็นจำนวนมากๆ ค่อยๆ เปลี่ยนทิศทางไปตามกฎเกณฑ์ที่กำหนดไว้ เส้นตรงเหล่านั้นจะตัดกับเส้นตรงที่อยู่ข้างเคียงกัน และ จะมีเส้นโค้งเส้นหนึ่งเกิดขึ้น ซึ่งจะสัมผัสชุดของเส้นตรงที่ได้เขียนไว้แต่แรกทุกเส้นยิ่งเขียนเส้นตรงให้มากขึ้น ก็จะแลเห็นเส้นโค้งชัดเจนยิ่งขึ้นในทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งเช่นนี้ว่า เอนวิโลป (envelope) ของชุดเส้นตรง หรือเราอาจจะเรียกว่า เส้นขอบ ของชุดเส้นตรงก็ได้

ลองกำหนดเครื่องหมาย x บนกระดาษ ใช้ไม้บรรทัดวางบนกระดาษให้ริมข้างหนึ่งผ่านจุดตัดของเครื่องหมาย x แล้วขีดเส้นตรงที่ริมของไม้บรรทัดอีกด้านหนึ่งค่อยๆ เลื่อนไม้บรรทัดโดยให้ริมหนึ่งผ่าน x เสมอ และ ขีดเส้นตรงที่อีกริมหนึ่งของไม้บรรทัด เมื่อหมุนไม้บรรทัดไปจนรอบ x ก็จะได้ชุดเส้นตรงรอบ x ด้วย จะเห็นได้ว่าจะมีวงกลมหนึ่งวง มีศูนย์กลางที่ x และ สัมผัสเส้นตรงชุดนี้ทุกเส้นวงกลมนี้ก็คือ เส้นขอบ หรือ เอนวิโลป ของเส้นตรง ซึ่งอยู่ห่างจาก x เป็นระยะทางเท่ากับความกว้างของไม้บรรทัดนั่นเอง

ถ้าลากเส้นตรงสองเส้นมีความยาวเส้นละ 4 นิ้ว และ ให้ทำมุมต่อกันเป็นมุมเล็กกว่า 90 องศา แบ่งสเกลบนเส้นทั้งสองออกเป็น 16 ส่วนโดยมีความยาว ส่วนละ 1/4  นิ้ว บนเส้นหนึ่งเขียนเลข 1, 2, 3,...,16 และ เขียนตัวอักษร ก, ข, ค,...,บ บนอีกเส้นหนึ่ง ใช้เส้นตรงโยงจุด ก และ จุด 16 จุด ข และ จุด 15 จุด ค และ จุด 14 เช่นนี้ไปจนครบ 16 จุดบนแต่ละเส้น เส้นขอบของเส้นตรงชุดนี้คือ เส้นโค้งพาราโบลา

จากแนวความคิดนี้เราอาจประดิษฐ์ลวดลายแบบคณิตศาสตร์ขึ้นได้ โดยใช้ไม้สี่เหลี่ยมจัตุรัส (อาจจะใช้ไม้อัดหรือวัสดุอื่นก็ได้) ลากเส้นตรงสองเส้นให้ตั้งฉากกัน และ กัน และ แบ่งไม้แบบเป็นสี่ส่วน แบ่งสเกลจากจุดตัดออกไปทั้งสี่ทิศ ให้มีความยาวช่วงละครึ่งนิ้ว (หรือจะใช้หน่วยอื่นก็ได้) กำหนดเลข 1, 2, 3,... ลงบนเส้นตรงทั้งสอง (ตามภาพ) แล้วเจาะรูตรงหมายเลขทั้งหมด ใช้เชือกเส้น เล็กๆ ที่มีสีสวยงามหรือเส้นด้ายไนลอนสีก็ได้ สอดเข้าไปในรูเข็ม สอดเข็มใต้แผ่นกระดานตรงหมายเลข 8 บนแกน y ขึ้นมา แล้วสอดเข็มลงไปที่หมายเลข 1 บนแกน x ดึงด้ายให้ตึงเสมอ ต่อไปสอดเข็มขึ้นมาตรงหมายเลข 2 บนแกน x แล้วนำเข็มไปสอดลงตรงหมายเลข 7 บนแกน y สอดเข็มขึ้นมาตรงหมายเลข 6 บนแกน y แล้วนำไปสอดลงตรงหมายเลข 3 บนแกน x ทำเช่นนี้ไปจนครบทุกหมายเลข จะได้เส้นด้ายตัดกันมีขอบเป็นเส้นโค้ง อยู่ในส่วนที่หนึ่งของแผ่นไม้ แบบอีกสามส่วนของแผ่นไม้แบบก็กระทำเช่นเดียวกัน จะได้ลวดลายที่มีเส้นตรงเป็นชุดๆ ออกจากเส้นตรงที่ตั้งฉากกันสองเส้น และ มีเส้นโค้งเป็นเส้นขอบ

เขียนวงกลมลงบนแผ่นไม้อัดแล้วแบ่งเส้นรอบวงของวงกลมออกเป็น 36 ส่วน โดยการวัดมุมที่ศูนย์กลางของวงกลม 36 มุม มุมละ 10 องศา ไปโดย รอบ ใช้ด้ายไนลอนสี และ เข็มเช่นในวิธีที่แล้วเจาะรูที่เส้นรอบของวงกลมตาม ตำแหน่งที่แบ่งไว้ 36 รู แล้วให้หมายเลขเรียงลำดับตั้งแต่ 1 จนถึง 36 เอาเข็มสอดใต้ไม้อัดให้ขึ้นที่หมายเลข 1 แล้วสอดเข็มลงที่หมายเลข 10 และ ดึงเส้นด้ายให้ตึง สอดเข็มขึ้นที่หมายเลข 11 แล้วนำไปสอดที่หมายเลข 20 (หรือกลับไป ที่หมายเลข 2 ก็ได้) ทำเช่นนี้ไปจนครบทั้ง 36 หมายเลข จะได้รูปร่างของเส้นด้ายเป็นเส้นตรงขึงตึงอยู่บนเส้นรอบวงกลมที่อยู่ห่างกัน 9 รู เส้นตรงเหล่านี้จะมีเส้นขอบเป็นวงกลมอีกวงหนึ่งอยู่ภายในวงกลมแรก และ มีศูนย์กลางร่วมกัน

เราอาจจะนำความคิดนี้ไปออกแบบเป็นเครื่องประดับห้องแสดงนิทรรศการหรือประดับสถานที่ก็ได้ โดยใช้เส้นลวดขดเป็นวงกลม และ หมายตำแหน่งบนวงกลมไว้ 36 แห่งเท่าๆ กัน ใช้เส้นลวดไนลอนผูกกับเส้นลวดตรงจุดใดจุดหนึ่งที่หมายไว้ แล้วดำเนินวิธีการ เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ก็จะได้สิ่งตกแต่งที่ดูงามตา

คราวนี้ลองเขียนวงกลม และ แบ่งเส้นรอบวงกลมออกเป็น 36 ส่วนเท่าๆ กันแล้วเจาะรูเช่นเดียวกับวิธีข้างต้นให้หมายเลขรูบนวงกลมตั้งแต่เลข 1 จน ถึง 36 แล้วให้หมายเลขต่อไปนี้ซ้ำอีกรอบหนึ่งจนถึงหมายเลข 72 ใช้เส้นด้าย ไนลอนสีโยงจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลม (โดยดึงเส้นด้ายระหว่างสองตำแหน่งให้ตึง อยู่เสมอ) โยงไปยังจุดซึ่งมีหมายเลขเป็นสองเท่า ของจุดตั้งต้น เช่น 

โยงจุด 1 ไปยังจุด 2 
โยงจุด 2 ไปยังจุด 4 
โยงจุด 3 ไปยังจุด 6 

ทำเช่นนี้เรื่อยไปจนถึง 

โยงจุด 19 ไปยังจุด 38 
โยงจุด 20 ไปยังจุด 40 

ไปจนกระทั่งสุดท้ายโยงจุด 35 ไปยังจุด 70 

เส้นขอบของชุดเส้นตรงที่อยู่ภายในวงกลมนี้คือ เส้นโค้งคาร์ดิออยด์

ปัญหาสุนัขไล่กระต่าย สุนัขแลเห็นกระต่ายตัวหนึ่งอยู่ทางทิศเหนือของมัน กระต่ายกำลังวิ่งไปทางทิศตะวันออก ด้วยความเร็วสม่ำเสมอ สุนัขตัวนั้นพยายามวิ่งตรงไปยังกระต่ายด้วยความเร็วเป็นสองเท่าของเจ้ากระต่ายเคราะห์ร้าย ในที่สุด สุนัขก็วิ่งไปทันกระต่ายพอดี เส้นทางที่สุนัขวิ่งจากจุดตั้งต้นจะมีลักษณะอย่างไร

เราอาจแก้ปัญหานี้ได้โดยแบ่งเส้นตรง ที่กระต่ายวิ่งออกเป็นหลายๆ ส่วน เท่าๆ กัน โดยให้ส่วนหนึ่งแทนระยะทางที่กระต่ายวิ่งไปได้ใน 1 วินาที กำหนดอักษรบนแต่ละส่วน ก ข ค ง... เริ่มแรกสุนัขอยู่ที่จุด O และ เห็นกระต่ายอยู่ที่ จุด ก สุนัขวิ่งตามแนวเส้นตรง O ก พอสุนัขวิ่งมาถึงจุด 1 กระต่ายก็วิ่งไปถึงจุด ข สุนัขจึงเปลี่ยนแนววิ่งไปตามเส้นตรง 1ข เมื่อสุนัขวิ่งมาถึงจุด 2 แลเห็นกระต่ายอยู่ที่จุด ค สุนัขก็เปลี่ยนแนววิ่งไปตามเส้นตรง 2 ค เช่นนี้เรื่อยๆ ไป จนกระทั่งวิ่งไปทันกระต่าย ที่จุด ป จะสังเกตเห็นได้ว่า เส้นทางที่สุนัขวิ่ง เป็นเส้นโค้งมีลักษณะเป็นเส้นขอบของชุดเส้นตรง โดยที่เส้นตรง (ซึ่งเป็นแนวทางที่สุนัขตั้งใจวิ่ง) ทุกเส้นเป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้