กำเนิดของวิชาความน่าจะเป็น

เมื่อ พ.ศ. 2197 ซึ่งตรงกับสมัยพระเจ้าปราสาททองแห่งกรุงศรีอยุธยา ทางประเทศฝรั่งเศสได้มีนักพนันที่มีชื่อเสียงผู้หนึ่งชื่อ เชอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de mere) ได้ประสบปัญหาในการพนันที่เกี่ยวกับการทอดลูกเต๋า เขาไปปรึกษากับนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่สมัยนั้น คือ ปาสกาล ซึ่งจากคำอธิบายของปาสกาลนี้เอง ที่ทำให้โลกได้จารึกจุดเริ่มต้นของวิชาความน่าจะเป็นไว้ ในที่นี้จึงจะขอกล่าวถึงปัญหาเริ่มแรกทั้งสองนี้

ปัญหาที่ 1 การทอดลูกเต๋า 1 ลูกและ 2 ลูก 

ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้ง เชอวาลิเยร์พนันว่า ลูกเต๋าจะต้องหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง และเมื่อทอดลูกเต๋าได้ 4 ครั้ง ก็ปรากฏว่า เป็นจริงตามที่พนันไว้ เขาจึงพนันต่อไปว่า ถ้าทอดลูกเต๋า 2 ลูก 24 ครั้ง ลูกเต๋าจะหงายหน้าหกทั้ง 2 ลูก อย่างน้อย 1 ครั้ง แต่เมื่อ ทอดครบ 24 ครั้ง ปรากฏว่า ไม่จริง ปาสกาลได้อธิบายให้ทราบดังนี้
 

ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าหกคือ 1/6

ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าอื่นคือ 5/6

 

 

 

การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง นั้นคือ

 

การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจำนวน 1 ครั้งใน 4 ครั้ง

หรือ การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจำนวน 2 ครั้งใน 4 ครั้ง

หรือ การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจำนวน 3 ครั้งใน 4 ครั้ง

หรือ การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจำนวน 4 ครั้งใน 4 ครั้ง

 

การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้งนั้น เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นแน่ คือ การที่ลูกเต๋าไม่หงายหน้าหกเลย เพราะ หงายหน้าอื่น หรือ หงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง

 

 

 

ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าไม่หงายหน้าหกเลย รวมกับความน่าจะเป็น ที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง จึงมีค่าเท่ากับ 1 ตามที่กล่าวแล้วในตอนแรก นั่นคือ 

ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง = 1 - ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋า ไม่หงายหน้าหกเลย 

= 1-(5/6)4 = 0.516

จะสังเกตเห็นว่าค่า 0.516 นี้เกินครึ่ง จึงแสดงว่าโอกาสที่ลูกเต๋าหงายหน้าหก อย่างน้อย 1 ครั้งมีมาก ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้ง เชอวาลิเยร์จึงมีโอกาส ชนะมากกว่า และ เผอิญเขาโชคดีจึงชนะในครั้งนั้น ตามปกติเขาจะไม่ชนะทุกครั้งไป 

เมื่อเชอวาลิเยร์พนันต่อไปว่า ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 24 ครั้ง หน้าหกจะต้องหงายพร้อมกันอย่างน้อย 1 ครั้งนั้น ปาสกาลอธิบายว่า ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก ลูกเต๋าจะหงายได้ 36 วิธี คือ ลูกที่ 1 หงายหน้าหนึ่ง และ ลูกที่ 2 หงายหน้า หนึ่งหรือ ลูกที่ 1 หงายหน้าใดๆ ก็ได้ ตั้งแต่หน้าหนึ่งถึงหก และ ลูกที่ 2 หงายหน้า ใดๆ ก็ได้ ตั้งแต่หน้าหนึ่งถึงหน้าหกเช่นกัน

 

ทำนองเดียวกันกับในตอนแรก ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าหกทั้ง 2 ลูกอย่างน้อย 1 ครั้ง คือ 1-(35/36 )24 = 0.491 ซึ่งไม่ถึงครึ่ง และ น้อยกว่าค่าที่ได้ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้ง ประกอบกับเขาโชคไม่ดีในการพนันครั้งนี้ ลูกเต๋าทั้ง 2 จึงไม่หงายหน้าหกพร้อมกันเลย ทั้งๆ ที่ถ้าเขาทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 24 ครั้ง เรื่อยๆ ไป เขาจะต้องได้ลูกเต๋า ทั้ง 2 หงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง 

ปัญหาที่ 2 การแบ่งรางวัลในเกมที่ต้องหยุดเล่นก่อนกำหนด 

ในเกมที่มีผู้เล่น 2 คน แต่ละคนมีโอกาสที่จะชนะเท่าๆ กัน ทั้งสองตกลงกันว่า ผู้ที่ชนะ 5 เกมเป็นคนแรก จะเป็นผู้ชนะในที่สุด แต่ปรากฏว่า เมื่อคนแรก ชนะได้ 4 เกม และ คนที่ 2 ชนะได้ 3 เกม ก็จำต้องหยุดเล่น จึงเกิดปัญหาว่า จะแบ่งรางวัลอย่างไร จึงจะยุติธรรม ปาสกาลได้อธิบายวิธีแบ่งโดยอาศัยหลักความน่าจะเป็นดังนี้

 

เพื่อให้โอกาสที่ทั้งสองจะชนะได้ จึงควรพิจารณาว่า ถ้าทั้งสองเล่นต่ออีก 2 เกม เพราะคนที่ 2 ชนะแล้ว 3 เกม ผลที่ได้มี 4 อย่าง คือ 

1. คนที่ 1 ชนะทั้ง 2 เกม 
2. คนที่ 2 ชนะทั้ง 2 เกม 
3. คนที่ 1 ชนะเกมที่ 1 และคนที่ 2 ชนะเกมที่ 2 
4. คนที่ 1 ชนะเกมที่ 2 และคนที่ 2 ชนะเกมที่ 1 

จะเห็นว่าคนที่ 2 จะมีโอกาสเป็นผู้ชนะเลิศก็ต่อเมื่อ เขาต้องเป็นผู้ชนะอีกทั้ง 2 เกม ซึ่งจะมีโอกาสเพียง 1 ใน 4 เท่านั้น แต่โอกาสที่คนที่ 1 จะเป็นผู้ชนะ มีถึง 3 ใน 4 ฉะนั้นเมื่อต้องหยุดเล่นก่อนกำหนด คนที่ 1 จึงมีโอกาสได้รางวัล 3 ส่วน และคนที่ 2 ได้เพียง 1 ส่วน เพราะ โอกาสที่คนที่ 1 จะชนะมีเป็น 3 เท่า ของคนที่ 2