ศิลปการนับเบื้องต้น

นานมาแล้วคนอาศัยอยู่ใน ถ้ำ เพราะเขายังไม่มีความรู้ และเครื่องมือ ในการสร้างบ้าน สิ่งแรกที่เขาพยายามคิดค้นคือ จะทำให้เกิดแสงไฟได้อย่างไรในเวลาค่ำคืน ต่อมาเขาก็สามารถคิดได้สำเร็จจากแสงไฟที่เขาทำขึ้น พอถึงเวลาค่ำ ผู้หญิงก็จะเย็บเสื้อผ้าจากขนสัตว์ที่ผู้ชายไปล่าสัตว์มาได้ ผู้ชายก็จะเขียนภาพที่ฝาผนังถ้ำ แม้ว่าเขาจะเขียนภาพที่มีหอก ๕ เล่ม ปักอยู่ที่ตัวสัตว์ป่า แต่เขาก็ไม่รู้จักจำนวนห้านั้น มีทางเดียวเท่านั้นที่เขาจะแสดงจำนวนของสิ่งต่างๆ ได้ โดยใช้ความสัมพันธ์ "หนึ่ง ต่อ หนึ่ง" เขาใช้เครื่องหมาย หรือสัญลักษณ์หนึ่งอย่างแทนหนึ่งสิ่ง
 

 ถ้าเขาเห็นสัตว์จำนวนสามตัวในป่า และต้องการนับสิ่งที่เขาได้เห็น เขาก็จะทำรอยขีดบนพื้นดิน หรือวางหินเป็นกองจำนวนสามก้อน เพราะเขาไม่มีคำว่า "จำนวน"

เมื่อเขานำสัตว์ไปเลี้ยงในแต่ละวัน เขาจะเอาหินกองไว้เท่ากับจำนวนสัตว์ เมื่อถึงเวลาเย็น สัตว์กลับเข้าคอก เขาจะหยิบหินออกทีละก้อนต่อสัตว์หนึ่งตัว ถ้ามีก้อนหินเหลือหนึ่งก้อน เขาก็รู้ว่า สัตว์หายไปหนึ่งตัว

ต่อมาเขาก็ตระหนักว่า อาจจะใช้ส่วนของร่างกายแทนการทำรอยขีดบนดิน หรือแทนกองหิน โดยเขาใช้นิ้วมือ ซึ่งจะทำให้เขานับได้ถึงจำนวนสิบ แต่เมื่อเขามีสิ่งของเกินสิบเขาก็นับไม่ได้ เขาจึงใช้นิ้วเท้าเพิ่มเข้าไปอีกสิบ

แต่ถ้าสิ่งของนั้นเกินจำนวนยี่สิบ เขาก็ไม่สามารถหาอะไรแทนได้ เพราะจำนวนนิ้วมือ นิ้วเท้า ก็ไม่เพียงพอ เขาจึงใช้เครือไม้ทำปม แทนจำนวนของสิ่งที่ต้องการนับ และต่อมาก็ใช้เชือก ซึ่งเขาก็ยังไม่สามารถนับจำนวนมากๆ ได้ วิธีการนับได้พัฒนามาเป็นเวลานาน จนกระทั่งชาติต่างๆ สามารถใช้สัญลักษณ์แทนจำนวน ปัญหาเรื่องการนับจึงหมดสิ้นไป

จากวิธีการนับ ซึ่งใช้รอยขีดบนทราย ก้อนหิน นิ้วมือ นิ้วเท้า การผูกปมเชือกแทนสิ่งที่ต้องการนับ มันคงจะไม่สะดวกนัก ที่จะแบกก้อนหินไปนับสิ่งต่างๆ อย่างไรก็ตาม การใช้วัตถุสิ่งหนึ่งสำหรับสิ่งอื่น ก็ใช้กันมาเป็นเวลานาน และมีการพิจารณาเป็นการจัดกลุ่มขึ้น
 

การใช้ลูกคิด บางทีอาจจะเริ่มต้นมาจากการนับก้อนหินก็เป็นได้ แทนที่จะต้องหาก้อนหินใหม่ทุกครั้งไป หรือไม่ก็ต้องแบกก้อนหินใส่ถุงไป เขาจึงทำก้อนหินเป็นรู แล้วก็สอดลงไปในกิ่งไม้ การทำลูกคิดครั้งแรกคงจะเริ่มมาจากก้อนหิน ที่วางในทรายก็เป็นได้

ต่อมาก็มีการทำกรอบ เพื่อป้องกันลูกหิน หรือลูกปัด หล่นออกมา ซึ่งการทำลูกคิดในปัจจุบันของจีน ญี่ปุ่น และรัสเซีย ก็ได้แนวคิดมาจากสมัยก่อนเช่นเดียวกัน

ในการทำลูกคิดครั้งแรกจะใส่ลูกปัดไปแถวละสิบลูกดังนี้

แถวแรก ลูกปัดหนึ่งลูก แทนการนับสิ่งของหนึ่งสิ่ง 
แถวที่สอง ลูกปัดหนึ่งลูก แทนการนับสิ่งของสิบสิ่ง 
แถวที่สาม ลูกปัดหนึ่งลูก แทนการนับสิ่งของร้อยสิ่ง 
แถวที่สี่ ลูกปัดหนึ่งลูก แทนการสิ่งของพันสิ่ง 

ลองพิจารณาจากรูปต่อไปนี้ เมื่อเลื่อนลูกปัดจากข้างบนมาข้างล่าง

ลูกปัดที่เลื่อนลงมาแต่ละลูกมีค่าเท่ากับหนึ่ง เลื่อนลงมาสองลูกมีค่าเท่ากับสอง

ลูกปัดที่เลื่อนลงมาแต่ละลูกมีค่าเท่ากับสิบ เลื่อนลงมาสองลูก มีค่าเท่ากับยี่สิบ

ลูกปัดที่เลื่อนลงมาแต่ละลูกมีค่าเท่ากับร้อย เลื่อนลงมาสองลูก มีค่าเท่ากับสองร้อย

ลูกปัดที่เลื่อนลงมาแต่ละลูกมีค่าเท่ากับพัน เลื่อนลงมาสองลูกก็มีค่าเท่ากับสองพัน

จะเห็นว่าค่าต่างๆ ที่จะเป็นสอง สองสิบ สองร้อย สองพัน ขึ้นอยู่กับจำนวน ซึ่งเลื่อนลูกปัดลงมา

อย่างไรก็ตาม ในสมัยโบราณก็ไม่มีค่าประจำหลักดังแสดงข้างต้น เมื่อคนต้องการใช้จำนวนมากๆ เขาก็สร้างสัญลักษณ์ขึ้นใหม่ จนกระทั่งชาติต่างๆ ได้ใช้สัญลักษณ์คือ ตัวเลขแทนจำนวน ซึ่งจะเห็นได้ว่า การที่ชาติต่างๆ จะใช้ตัวเลขแบบใด ก็เริ่มต้นมาจากการนับนั่นเอง

ลองพิจารณาต่อไป การนับครั้งแรกจะใช้ "หนึ่งต่อหนึ่ง" โดยใช้สิ่งของหนึ่งสิ่งแทนจำนวนหนึ่ง และเมื่อสิ่งที่ต้องการนับมากขึ้น เขาก็รู้จักจัดเป็นกลุ่ม การที่จะรู้ว่า สิ่งใดมีมากน้อยเพียงใดเขาก็เริ่มต้นมาจากการนับ ดูตัวอย่างต่อไปนี้

ครอบครัวโกมุท มีสมาชิกหนึ่งคน เขาก็ทำรอยขีดไว้หนึ่งขีด 
ครอบครัวจงกล มีสมาชิกสองคน เขาก็ทำรอยขีดไว้สองขีด 
ครอบครัวตาราไต มีสมาชิกสามคน เขาก็ทำรอยขีดไว้สามขีด และก็ทำเช่นนี้เรื่อยๆ ไป

เมื่อเขาต้องการที่จะหาจำนวนของสิ่งใด เขาก็ใช้การนับ โดยใช้การจับคู่สิ่งที่ต้องการนับนั้น กับสิ่งที่เขานำมาทำเครื่องหมายไว้ บางคนนั้นแทนที่จะใช้รอยขีด เขาก็ใช้ก้อนหินแทน ถ้าเขาจับคู่ "หนึ่งต่อหนึ่ง" ได้พอดี เขาก็จะทราบว่า สมาชิกในบ้านของเขามีเท่าไร

จากการนับนี้จึงเกิดวิวัฒนาการสร้างสัญลักษณ์แทนจำนวนขึ้น ดังนั้นแทนที่เขาจะจับคู่วัตถุกับสมาชิกในครอบครัว เขาก็จับคู่วัตถุกับจำนวน ซึ่งเรียงกันอยู่ตามลำดับ 

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า การนับเช่นนี้เป็นประโยชน์อันยิ่งใหญ่ในการสร้างสัญลักษณ์ แทนจำนวน ซึ่งเป็นรากฐานในการที่จะสร้างเซตของจำนวนนับ หรือเซตของจำนวนธรรมชาติ เช่น เซต A = {1,2,3,4,5,...}