พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า

รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน และ มุมภายในเท่ากันทุกมุม รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปที่มีจำนวนด้านน้อยที่สุด เราสามารถบรรจุรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลมได้เสมอ รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปที่สร้างได้ง่ายที่สุด ใช้วงเวียนเขียนวงกลมรัศมีตามต้องการเลือกจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงเป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งของวงกลมให้มีรัศมีเท่าวงกลมเดิมตัดเส้นรอบวงของวงกลม ทำเช่นนี้เรื่อยไปจะได้จุดตัดบนเส้นรอบวง 6 จุดพอดี จุดทั้ง 6 นี้ จะเป็นจุดมุมยอดของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามีความยาวของแต่ละด้านเท่ากับรัศมีวงกลมนั้น

ชาวกรีกในสมัยโบราณได้รู้วิธีสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนด้าน เป็น 3, 4, 5, 6, 8, 10 และ 15 โดยการใช้เพียงไม้บรรทัด (ซึ่งไม่มีการแบ่งสเกล) และ วงเวียนเท่านั้น ในปี ค.ศ. 1796 เกาส์ ได้พบว่าเราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า โดยใช้แต่เพียงไม้บรรทัดกับวงเวียนเท่านั้นได้ เมื่อจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่านั้นเป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งอยู่ในแบบ

จะเห็นได้ว่า 

 

ดังนั้น เราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าด้วยไม้บรรทัด และ วงเวียนเท่านั้น เมื่อจำนวนด้าน เป็น 5, 17, 257, 65537,...ได้เสมอ แต่เราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนด้าน เป็น 7, 9, 11 และ 13 โดยวิธีนี้ไม่ได้เลย ถ้าให้ a เป็นระยะ ที่ด้านของรูปหลายเหลี่ยมอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลม และ P เป็นความยาวของเส้นรอบรูป ของรูปหลายเหลี่ยมนั้น พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ด้านเท่าจะเท่ากับ 1/2aP

สำหรับรูปที่มี n เหลี่ยมด้านเท่า ถ้าให้ b แทนความยาวของแต่ละด้านจะได้ P = nb ดังนั้นพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าจะเท่ากับ 1/2 nab

 

ในบรรดารูปเหลี่ยมทั้งหลายนี้ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปเหลี่ยมที่เราคุ้นเคยที่สุด บานหน้าต่าง ประตู เสื่อ ผ้าขาวม้า เตียงนอน หรือแคร่ ฯลฯ ล้วนมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เมื่อเราขึ้นไปบนที่สูงๆ จะแลเห็นทุ่งนากั้นเป็นกระทงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะเราสามารถหาขนาดพื้นที่ได้ง่าย ลวดลายต่างๆ ที่เขาทำบนเสื่อหรือเสื่อน้ำมันก็มักจะเป็นรูปเรขาคณิตของรูปหลายเหลี่ยม ทำให้ดูสวยสดงดงามขึ้น