สมการ และ อสมการ

"อะไรเอ่ยบวกกับ 3 แล้วได้ 5"

คำถามนี้อาจเขียนได้แบบอื่นอีก เช่น 

จงเติมคำตอบในช่องว่าง [ ] + 3=5

ในวิชาพีชคณิต เรามักจะเขียนคำถามนี้ว่า

จงแก้สมการ x + 3 = 5

x ในประโยค "x + 3 = 5" ทำหน้าที่เหมือนสรรพนามแทน "จำนวนๆ หนึ่ง" เราเรียก x ว่าตัวแปร

ประโยคในคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรและเชื่อมด้วยเครื่องหมาย = เราเรียกว่า สมการ 

ประโยคที่ไม่มีตัวแปร เช่น "2 + 3 = 5" "5 x 2 = 8"เราเรียกว่า ข้อความ

"2 + 3 = 5" เป็นข้อความจริง 

ส่วน "5 x 2 = 8" เป็น ข้อความเท็จ 

คำตอบของสมการคือ ค่าที่นำไปแทนตัวแปรในสมการแล้วทำให้ได้ข้อความจริง เช่น สมการ x + 3 = 5 มีคำตอบเป็น 2 

การหาคำตอบทั้งหมดของสมการใด เราเรียกว่า การแก้สมการนั้น

สมการบางสมการอาจจะไม่มีคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "มีจำนวนเต็มจำนวนใดบ้างซึ่งคูณกับ 2 แล้วได้ 3" ก็ต้องตอบว่า "ไม่มีจำนวนเต็มเช่นนั้น" เราพูดได้อีกอย่างหนึ่งว่า สมการ 2x = 3 ไม่มีคำตอบซึ่งเป็นจำนวนเต็ม

เราทราบว่าจำนวนจริงใดๆ ก็ตามเมื่อคูณกับตัวเองแล้วย่อมไม่ได้จำนวนลบ ดังนั้น เราพูดว่า สมการ X x X = -1 ซึ่งเขียนได้ว่า x^2  = -1 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

สมการบางสมการอาจมีคำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "จำนวนใดคูณกับตัวเองแล้วได้ 1" ก็ต้องตอบว่า"-1 และ 1" หรือพูดว่า สมการ x 2  = 1 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ -1 และ 1

สมการที่มีตัวแปรเดียว และ เลขชี้กำลัง* ของตัวแปรเป็น 1 เราเรียกว่า สมการเชิงเส้น (Linear equation) ที่มีตัวแปรเดียว ดังนั้น 2x - 5 = 1, 6 + 3x = 2, 3t + ,1 - 2y = 2.7, 2z - 10 = 0 ล้วนเป็นตัวอย่างของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว

* เราเขียน 5 ได้ว่า 5^1  และ เรียก 1 ว่า เลขชี้กำลัง 
เราเขียน 5 x 5 ได้ว่า 5^2  และ เรียก 2 ว่า เเลขชี้กำลัง 
เราเขียน 5 x 5 x 5 ได้ว่า 5^3  และ เรียก 3 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ 
ให้ X แทนจำนวนใดๆ ก็ตาม เราเขียน X ได้ว่า X^1  และ เรียก 1 ว่า เลขชี้กำลัง 
เราเขียน X x X ได้ว่า X^2  และ เรียก 2 ว่า เลขชี้กำลัง 
เราเขียน X x X x X ได้ว่า X^3  และ เรียก 3 ว่า เลขชี้กำลัง 
เราเขียน X x X x X x X x X ได้ว่า X^5  และ เรียก 5 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ 
เลขชี้กำลังไม่จำเป็นจำนวนเต็มบวก แต่เราจะไม่กล่าวถึงในที่นี้

การแก้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว เรามีหลักการใหญ่ๆ ดังนี้ คือ 

(1) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่งมาบวก หรือลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการ ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม 
(2) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่ง ซึ่งไม่ใช่ 0 มาคูณ หรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม
สมมุติว่าเราต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5 เราใช้หลักทั้งสองข้อดังนี้ 

2x + 3 = 5 
2x + = 2 นำ 3 มาลบทั้งสองข้าง 
x = 1 นำ 2 มาหารทั้งสองข้าง 

จากหลักทั้งสองข้อ เราได้ว่าสมการทั้งสามนี้มีคำตอบเหมือนกัน ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ 2x + 3 = 5

หลักข้อ (2) ห้ามนำ 0 มาหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = ในสมการ เพราะการหารด้วย 0 ไม่มีความหมาย และหลักเดียวกันนี้ ห้ามนำ 0 มาคูณทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = ในสมการ เพราะสมการใหม่จะมีคำตอบต่างจากสมการเดิม ตัวอย่างเช่น

สมการ 2x = 6 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ได้แก่ 3 แต่สมการ 2X x 0 = 6x0 นั้น มีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ เนื่องจากจำนวนจริงใดๆ ก็ตามคูณกับ 0 แล้วย่อมได้ 0

ควรสังเกตว่า การพูดกว้างๆ ว่า "ในการแก้สมการนั้น ถ้าทำอย่างไรทางซ้าย (ของเครื่องหมาย =) แล้วให้ทำอย่างเดียวกันทางขวา (ของเครื่องหมาย =)" นั้น ใช้ไม่ได้ เพราะสมการใหม่อาจมีคำตอบต่างจากสมการเดิมได้ เช่นสมการ x = 3 กับสมการ x^2  = 3^2  ซึ่งได้จากการ "ยกกำลังสองทั้งสองข้าง" มีคำตอบต่างกัน สมการ x = 3 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ 3 ส่วนสมการ x^2  = 3^2  มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ -3 กับ 3

สมการ x-1 = 0 กับสมการ x (x-1) = 0 ก็มีคำตอบต่างกัน สมการที่สองได้จากการคูณ x ทั้งสองข้าง (ของเครื่องหมาย =) ในสมการแรก หรือจะพูดว่าสมการแรกได้จากการหารด้วย x ทั้งสองข้างในสมการที่สองก็ได้ สมการ x-1 = 0 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ 1 ส่วนสมการ x (x-1) = 0 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ 0 และ 1

สมการอาจจะมีตัวแปรกี่ตัวแปรก็ได้ เช่น โจทย์ที่ว่า "จงหาจำนวนสองจำนวนซึ่งมีผลต่างเป็น 3" อาจจะเขียนได้ว่า "จงแก้สมการ x-y = 3" สมการ x-y = 3 เป็นสมการที่มีตัวแปร 2 ตัว สมการนี้มีคำตอบมากมาย เช่น x = 4 และ y = 1 หรือ x = 3 และ y = 0 หรือ x = และ y = -3 เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรานิยมเขียนในรูปคู่ลำดับว่า (4,1), (3,0) , ( -3 ) จำนวนแรกในคู่ลำดับแทนค่า x จำนวนหลังแทนค่า y ดังนั้น (4,1) เป็นคำตอบหนึ่งๆ ของสมการ x - y = 3 แต่ (1,4) ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้

เนื่องจากสมการ x - y = 3 นี้ มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงอยู่มากมาย ไม่สามารถแจกแจงให้ดูได้หมด วิธีที่จะแสดงคำตอบได้วิธีหนึ่ง คือ การเขียนกราฟ

สมการที่มีตัวแปรเดียวก็สามารถแก้ได้โดยวิธีกราฟ เช่น ถ้าต้องการแก้ สมการ 2x + 3 = 5 ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการ 2x - 2 = 0 (นำ 5 มาลบทั้งสองข้าง ของเครื่องหมาย =) เราเพิ่มตัวแปร y ขึ้นมาอีกหนึ่งตัว โดยกำหนดให้ 2x -2 = y

สมการนี้เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัว คำตอบของสมการ 2x - 2 = y คือทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรงสีแดง ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของ สมการ 2x-2 =0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตัดแกนนอน เส้นตรงนี้ ตัดแกนนอนที่จุด (1,0)

เราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ 2x - 2 = 0 หรือสมการ 2x + 3 = 5 

สมการ x^2 - 2x = 3 มีคำตอบเหมือนสมการ x^2 - 2x - 3 = 0 เราแก้ได้โดย เขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x^2 - 2x - 3 = y (เส้นโค้งสีน้ำเงินในรูป) ค่า ของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ x^2 - 2x - 3 = 0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตัดแกนนอนได้แก่จุด (-1,0) และ (3,0)

เราจึงสรุปว่า -1 กับ 3 เป็นคำตอบของสมการ x^2 - 2x - 3 = 0 หรือ x^2 - 2x = 3

ในการแก้สมการ x^2 - 2x + 2 = 0 เราเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x^2 - 2x + 2 = y จะพบว่ากราฟนั้นไม่ตัดแกนนอน แสดงว่า จุด (x,0) ไม่อยู่ บนกราฟ ดังนั้น (x,0) ไม่ใช่คำตอบของสมการ x^2 - 2x + 2 = y นั่นคือ ไม่ว่า x จะแทนจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม x^2 - 2x + 2 ไม่เท่ากับ 0 เราจึงสรุปได้ว่า สมการ x^2 -2x + 2 = 0 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

Content