ตรรกวิทยา

ตรรกวิทยา เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ว่าด้วยเหตุและผล ที่ได้จากสามัญสำนึกขั้นพื้นฐานของมนุษย์ ซึ่งมีภาษาเป็นเครื่องถ่ายทอดความหมาย เพื่อความเข้าใจซึ่งกัน และ กัน ภาษาที่สำคัญคือ ภาษาพูด และ ภาษาเขียน ซึ่งสร้างจากคำต่างๆ แล้วรวบรวมขึ้นเป็นกลุ่มคำที่สามารถเข้าใจความหมายได้

กลุ่มคำที่สร้างขึ้นบางกลุ่มคำ เราบอกได้ว่า เป็นจริง บางกลุ่มคำเราบอกได้ว่า เป็นเท็จ แต่บางกลุ่มคำเราไม่สามารถบอกได้ว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จ

พิจารณากลุ่มคำ "แม่น้ำเจ้าพระยาไหลผ่านจังหวัดอุดรธานี" กลุ่มคำนี้ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นเท็จ (เพราะไม่ตรงกับความเป็นจริง)

พิจารณากลุ่มคำ "เขาเป็นนายกรัฐมนตรี" กลุ่มคำนี้ให้ความหมายไม่กระจ่างชัดว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จ (เราไม่ทราบว่า เขาผู้นี้คือใคร)

กลุ่มคำที่ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จ แต่เพียงอย่างเดียวนั้น ในทางตรรกวิทยาเรียกกลุ่มคำชนิดนี้ว่า ประพจน์

กลุ่มคำที่ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จนั้น ในทางตรรกวิทยาถือว่า กลุ่มคำชนิดนี้ไม่เป็น ประพจน์

ในชีวิตประจำวัน เรามักพบข้อความซึ่งเปลี่ยนแปลงไปจากข้อความเดิม โดยเติมคำ "ไม่" เพิ่มเข้าไป หรือข้อความ ซึ่งเชื่อมประพจน์สองประพจน์ ด้วยคำว่า "และ" "หรือ" "ถ้า...แล้วจะได้..." "ก็ต่อเมื่อ" คำหรือข้อความเหล่านี้เรียกว่าเป็น ตัวเชื่อม

พิจารณาประพจน์สองประพจน์นี้ 

"2 + 3 = 4" (ประพจน์นี้เป็นเท็จ)
"3 เป็นจำนวนคี่" (ประพจน์นี้เป็นจริง)

อาจสร้างประพจน์ขึ้นใหม่ได้ (ซึ่งอาจเป็น จริง หรือ เท็จ) ดังนี้

"3 ไม่ เป็นจำนวนคี่"
"2 + 3 = 4 และ 3 เป็นจำนวนคี่"
"2 + 3 = 4 หรือ 3 เป็นจำนวนคี่"
"ถ้า 2 + 3 = 4 แล้วจะได้ 3 เป็นจำนวนคี่"
"2 + 3 = 4 ก็ต่อเมื่อ 3 เป็นจำนวนคี่"

เพื่อความสะดวก และ ความรวดเร็วในการเขียนและการนำไปใช้ 

เราทราบแล้วว่า ประพจน์ในตรรกวิทยาแต่ละประพจน์นั้น เป็นจริง หรือเป็นเท็จแต่เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง กรณีของความเป็นจริง หรือ ความเป็นเท็จ ที่จะเกิดขึ้นได้ มีดังนี้ 

ถ้ามีประพจน์เดียว คือประพจน์ ก จะมีกรณีที่เกิดขึ้นได้แตกต่างกัน 2 กรณี คือ 

กรณีที่ 1 ประพจน์ ก เป็นจริง 
กรณีที่ 2 ประพจน์ ก เป็นเท็จ 

ถ้ามีสองประพจน์คือ ก,ข เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมต่างๆ จะมีกรณีเกิดขึ้น ได้แตกต่างกัน 4 กรณี คือ 

กรณีที่ 1 ประพจน์ ก เป็นจริง ประพจน์ ข เป็นจริง 
กรณีที่ 2 ประพจน์ ก เป็นจริง ประพจน์ ข เป็นเท็จ 
กรณีที่ 3 ประพจน์ ก เป็นเท็จ ประพจน์ ข เป็นจริง 
กรณีที่ 4 ประพจน์ ก เป็นเท็จ ประพจน์ ข เป็นเท็จ 

ถ้ามีสามประพจน์ คือ ก,ข,ค เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมต่างๆ จะมีกรณีที่ เกิดขึ้นได้แตกต่างกัน 8 (หรือเขียนได้ว่า 2^3) กรณี คือ 

กรณีที่ 1 ประพจน์ ก เป็นจริง ประพจน์ ข เป็นจริง ประพจน์ ค เป็นจริง 
กรณีที่ 2 ประพจน์ ก เป็นจริง ประพจน์ ข เป็นจริง ประพจน์ ค เป็นเท็จ 
กรณีที่ 3 ประพจน์ ก เป็นจริง ประพจน์ ข เป็นเท็จ ประพจน์ ค เป็นจริง 
กรณีที่ 4 ประพจน์ ก เป็นจริง ประพจน์ ข เป็นเท็จ ประพจน์ ค เป็นเท็จ 
กรณีที่ 5 ประพจน์ ก เป็นเท็จ ประพจน์ ข เป็นจริง ประพจน์ ค เป็นจริง 
กรณีที่ 6 ประพจน์ ก เป็นเท็จ ประพจน์ ข เป็นจริง ประพจน์ ค เป็นเท็จ 
กรณีที่ 7 ประพจน์ ก เป็นเท็จ ประพจน์ ข เป็นเท็จ ประพจน์ ค เป็นจริง 
กรณีที่ 8 ประพจน์ ก เป็นเท็จ ประพจน์ ข เป็นเท็จ ประพจน์ ค เป็นเท็จ 

ถ้ามีสี่ประพจน์ เช่น ก,ข,ค,ง เชื่อมกัน จะมีกรณีเกิดแตกต่างกันได้ 2^4 
กรณี ถ้ามีห้าประพจน์ เช่น ก,ข,ค,ง,จ เชื่อมกัน จะมีกรณีที่เกิดแตกต่างกันได้ 2^5 
กรณี ถ้ามีประพจน์เชื่อมกัน จะมีกรณีแตกต่างกันได้ 2^n

Content