จากหนังสือเรียนสาระการเรียนรู้พื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม ๑ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ๑ ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๖ และ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ นิยามจำนวนคู่และจำนวนคี่ ไว้ดังนี้

ในที่นี้ จะจำกัดขอบเขตของจำนวนเต็มในแคบลงมาเป็นจำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ)
ดังนั้น จำนวนคู่ คือ จำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ) ที่หารด้วย 2 ลงตัว
และ   จำนวนคี่ คือ จำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ) ที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัว

      หากยอมรับเงื่อนไข "จำนวนคี่" ที่ว่า "จำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ) ที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัว" แสดงว่า จำนวนคี่ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 1
จำนวนคี่ตัวถัดไป คือ 3  จำนวนคี่ตัวถัดไป คือ 5  ตัวถัดไปก็คือ จำนวนคี่ตัวเดิมที่เพิ่มค่าเข้าไปอีก 2 ด้วยการกระทำเช่นนี้นี่เอง จึงทำให้ไม่ระบุบอกได้ว่า จำนวนคี่ที่มีค่ามากที่สุดคือจำนวนนับใด  กล่าวโดยสรุป เซตของจำนวนคี่ ประกอบด้วย 1, 3, 5, ... นั่นเอง

     ประเด็นที่เราสนใจคือว่า ถ้านำจำนวนคี่ที่เริ่มจากต้นจาก 1 มาบวกกันไปเรื่อยๆ แบบรู้จบ กล่าวคือ คงตัวสุดท้ายเอาไว้ หลายท่านทราบเช่นนี้ว่า 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² เมื่อ n เป็นจำนวนนับใดๆ  ขอย้อนกลับดูการพิสูจน์แบบอุปนัยทางคณิตศาสตร์ (mathematical induction) ดังนี้

    ให้ P(n) แทน 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² 
    กรณีที่ 1 :  n = 1
                  เมื่อแทน n = 1 ใน P(n) 
                   2(1) - 1  = 1²
                       2 - 1  = 1
                          1   = 1  เป็นจริง
                 แสดงว่า P(1) เป็นจริง
    กรณีที่ 2 : ให้ P(k) เป็นจริง
                    จะแสดงว่า P(k+1)เป็นจริง
                   ยอมรับว่า 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k²  เพราะให้ P(k) เป็นจริง 
                  1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + [2(k+1) - 1] = k² + [2(k+1) - 1]  บวกด้วยสิ่งที่เท่ากัน
                                                                             = k² + (2k+2 - 1)      การแจกแจง
                                                                              = k² + 2k + 1 
                                                                              = (k+1)(k+1)
                                                                              = (k+1)²
                    นั่นคือ  P(k+1) เป็นจริง

             ผู้เขียนคุ้นเคยกับการใช้โปรแกรมThe Geometer’s Sketchpad หรือ GSP จึงจะขอนำเสนอหลักการเบื้องต้นเกี่ยวกับการหาผลบวกของจำนวนคี่ก่อน ดังนี้ เริ่มต้นจากการหาวัสดุที่มีอยู่ใกล้ตัวคือกระดาษ A4  โดยหยิบกระดาษ A4 มา 1 แผ่นวางลงบนโต๊ะ แล้วหยิบกระดาษ A4 มาอีก 3 แผ่นรวมแล้วบนโต๊ะจะมีกระดาษ A4 ทั้งหมด 4 แผ่น จากนั้นจัดเรียงกระดาษ A4 ทั้ง 4 แผ่นให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โชคไม่ดีนักเพราะกระดาษ A4 ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มิเช่นนั้น รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทันที  ถัดมาหยิบกระดาษ A4 มาอีก 5 แผ่น แล้วจัดเรียงให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก แล้วนับจำนวนแผ่นกระดาษจะได้ 9 แผ่น บางคนจะไม่นับทีละแผ่นแล้ว เพราะเขาจะใช้วิธีคูณด้านกว้างและด้านยาวแทน ผู้เขียนขอนำเสนอในรูปตารางดังนี้

 หมายเหตุ :  การสรุปได้ว่า n² เป็นผลมาจากการลงมือปฏิบัติจากการประกอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง

                ส่วนการนำไปประยุกต์ใช้กับโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ก็คือการนำวิธีการที่ได้ไปทั้งหมดข้างต้น สร้างขั้นตอนทุกขั้นตอนให้ดำเนินการไปตามนั้น เชื่อได้เลยว่า สุดยอด! และไม่มีข้อขัดข้องอะไรเลยที่โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะปฏิเสธได้ ยกเว้นแต่ ผู้กำหนดกราฟิกให้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ไปไม่ถึง

ครูคณิตศาสตร์แห่งแหลมบัววิทยา